Question

5．已知全集U=R，集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}，B={x|（x-a）（x-a²-2）＜0}．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求（∁_UB）∩A．
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的解法、集合的运算性质即可得出．
（2）由若q是p的必要条件知p⇒q，可知A⊆B．由a²+2＞a知B={x|a＜x＜a²+2}．可得$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\{a^2}+2≥3\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}={x|2＜x＜3}，
a=$\frac{1}{2}$时，（x-$\frac{1}{2}$）（x-$\frac{9}{4}$）＜0，解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{9}{4}$，∁_UB={x|$x≤\frac{1}{2}$，或x$≥\frac{9}{4}$}．
∴（∁_UB）∩A={x|$\frac{9}{4}≤x＜3$}．
（2）由若q是p的必要条件知p⇒q，可知A⊆B．
由a²+2＞a知B={x|a＜x＜a²+2}．
∴$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\{a^2}+2≥3\end{array}\right.$
解得a≤-1或1≤a≤2．
即a∈（-∞，-1]∪[1，2]．

点评 本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．