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    19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;\;\;（a＞b＞0）$，其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点F是其一个焦点，P 为椭圆上一点，|PF|的最小值为$\sqrt{3}-1$，直线l：y=m（x-1）．
    （1）求椭圆的标准方程
    （2）证明：直线l与椭圆C总有两个不同的交点；
    （3）设直线l与椭圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以线段AB为直径的圆过坐标原点？若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由．

    分析 （1）由椭圆的离心率公式，求得a=$\sqrt{3}$c，a-c=$\sqrt{3}-1$，即可求得a和c的值，则b2=a2-c2=2，即可求得椭圆的标准方程；
    （2）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，则直线l与椭圆C总有两个不同的交点；
    （3）由韦达定理及向量数量积的坐标运算，解得：m2=-6，故不存在这样的实数，使得以线段AB为直径的圆过坐标原点．

    解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$c，
    由|PF|的最小值为$\sqrt{3}-1$，即a-c=$\sqrt{3}-1$，解得a=$\sqrt{3}$，c=1，
    b2=a2-c2=2，
    ∴椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；（4分）
    （2）证明：由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1}\\{mx-y-m=0}\end{array}}\right.$，消去y，整理得（3m2+2）x2-6m2x+3m2-6=0
    ∵△=（-6m2）2-4（3m2+2）（3m2-6）=48m2+48＞0，
    ∴对于m∈R，直线l与椭圆C总有两个不同的交点；      （6分）
    （3）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
    由（2）可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{6{m^2}}}{{3{m^2}+2}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{m^2}+2}}$，y1y2=m（x1-1）•m（x2-1）
    =m2（x1x2-（x1+x2）+1）=$\frac{-4{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，
    假设存在实数m，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，则x1x2+y1y2=0，
    可得m2=-6，所以不存在．   （12分）

    点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．

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