Question

2．某品牌汽车4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
频数	40	20	a	10	b

已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润．
（1）求上表中a，b的值；
（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌的3位顾客中，至多有一位采用分3期付款”的概率P（A）；
（3）求Y的分布列及数学期望EY．

Answer 1

分析 （1）$\frac{a}{100}$=0.2，解得a=20，又40+20+a+10+b=100，解得b．
（2）记分期付款的期数为x，则x的所有可能取值为1，2，3，4，5．P（x=1）=$\frac{40}{100}$=0.4，P（x=2）=0.2，P（x=3）=0.2，P（x=4）=0.1，P（x=5）=0.1，可得所求的概率P（A）．
（3）Y的可能取值为：1，1.5，2万元．可得P（Y=1）=P（x=1），P（Y=1.5）=P（x=2）+P（x=3），P（Y=2）=P（x=4）+P（x=5），即可得出．

解答 解：（1）$\frac{a}{100}$=0.2，解得a=20，又40+20+a+10+b=100，解得b=10．
（2）记分期付款的期数为x，则x的所有可能取值为1，2，3，4，5．
P（x=1）=$\frac{40}{100}$=0.4，P（x=2）=0.2，P（x=3）=0.2，P（x=4）=0.1，P（x=5）=0.1，
故所求的概率P（A）=0.8³+${∁}_{3}^{1}×0.2×0．{8}^{3}$=0.896．
（3）Y的可能取值为：1，1.5，2万元．
则P（Y=1）=P（x=1）=0.4，P（Y=1.5）=P（x=2）+P（x=3）=0.4，P（Y=2）=P（x=4）+P（x=5）=0.2．
Y的分布列为：

Y	1	1.5	2
P	0.4	0.4	0.2

E（Y）=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（万元）．

点评 本题考查了频率的计算、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．