Question

10．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2cosθ，过点p（-3，-5）的直线$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）与曲线C相交于点M，N两点．
（1）求曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程；
（2）求$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程；
（2）将直线l的参数方程为程代入曲线C的直角坐标方程为y²=2x，利用参数的几何意义，即可求$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$的值．

解答 解：（1）由ρsin²θ=2cosθ，得ρ²sin²θ=2ρcosθ，∴y²=2x．
即曲线C的直角坐标方程为y²=2x．
消去参数t，得直线l的普通方程x-y-2=0．
（2）将直线l的参数方程为程代入曲线C的直角坐标方程为y²=2x，
得${t^2}-12\sqrt{2}t+62=0$．
由韦达定理，得${t_1}+{t_2}=12\sqrt{2}$，t₁t₂=62，
所以t₁，t₂同为正数，
则$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$=$\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_1}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{31}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，正确计算是关键．