Question

5．在直角坐标系中xOy中，曲线E的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线E的普通方程和极坐标方程；
（2）若直线l与曲线E相交于点A、B两点，且OA⊥OB，求证：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）曲线E的参数方程消去参数，能求出曲线E的普通方程，进而能求出曲线E的极坐标方程．
（2）不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ₁，θ），B（${ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}$），从而得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}=\frac{1}{4}co{s}^{2}θ+\frac{1}{3}si{n}^{2}θ}\\{\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}=\frac{1}{4}si{n}^{2}θ+\frac{1}{3}co{s}^{2}θ}\end{array}\right.$，由此能证明$\frac{1}{|OA{|}^{2}}+\frac{1}{|OB{|}^{2}}=\frac{7}{12}$（定值）．

解答 解：（1）∵曲线E的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴消去参数得曲线E的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴曲线E的极坐标方程为${ρ}^{2}（\frac{1}{4}co{s}^{2}θ+\frac{1}{3}si{n}^{2}θ）=1$，
∴所求的极坐标方程为3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12．
（2）证明：不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ₁，θ），B（${ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（{ρ}_{1}cosθ）^{2}+\frac{1}{3}（{ρ}_{1}sinθ）=1}\\{\frac{1}{4}（{ρ}_{2}cos（θ+\frac{π}{2}））^{2}+\frac{1}{3}（{ρ}_{2}sin（θ+\frac{π}{2}））^{2}=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}=\frac{1}{4}co{s}^{2}θ+\frac{1}{3}si{n}^{2}θ}\\{\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}=\frac{1}{4}si{n}^{2}θ+\frac{1}{3}co{s}^{2}θ}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{7}{12}$，即$\frac{1}{|OA{|}^{2}}+\frac{1}{|OB{|}^{2}}=\frac{7}{12}$（定值）．

点评 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，考查代数式和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．