Question

16．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（I）求圆C的直角坐标方程；
（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）由圆的极坐标方程ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，可得ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；
（II）设A、B点所对应的参数分别为t₁，t₂，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．

解答 解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，可得ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，?
∴x²+y²=2$\sqrt{5}$y，
∴圆C的直角坐标方程为，x²+y²-2$\sqrt{5}$y=0（5分）
（II）设A、B点所对应的参数分别为t₁，t₂，把直线l的参数方程代入圆C的方程
则t₁，t₂是下面方程的根
（3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²-2$\sqrt{5}$（$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）=0
整理得，t²+3$\sqrt{2}$t+4=0
所以，t₁+t₂=-3$\sqrt{2}$，t₁t₂=4（t₁，t₂同号）
∵直线l过P（3，$\sqrt{5}$）
∴根据t的几何意义可知|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3$\sqrt{2}$（10分）

点评 本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．