Question

8．如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中AB=$\sqrt{3}$AC．
（1）若BC=2，求△ABC的面积的最大值；
（2）若△ABC的面积为1，问∠BAC=θ为何值时BC取得最小值．

Answer 1

分析 （1）以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0），设A（x，y），由AB=$\sqrt{3}$AC，可得（x-2）²+y²=3，数形结合可求三角形面积的最大值．
（2）设AB=c，BC=a，AC=b，由已知可求c=$\sqrt{3}b$，利用三角形面积公式可求b²=$\frac{2\sqrt{3}}{3sinθ}$，利用余弦定理可求a²=$\frac{8\sqrt{3}}{3sinθ}$-$\frac{4cosθ}{sinθ}$，令f（θ）=$\frac{8\sqrt{3}}{3sinθ}$-$\frac{4cosθ}{sinθ}$，θ∈（0，π），令f′（θ）=$\frac{-8\sqrt{3}cosθ+12}{3si{n}^{2}θ}$=0，可得：cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=$\frac{π}{6}$，由于f（θ）在（0，$\frac{π}{6}$）上单调递减，在（$\frac{π}{6}$，π）上单调递增，从而可求当θ=$\frac{π}{6}$时，BC取最小值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0），
设A（x，y），由AB=$\sqrt{3}$AC，可得：（x+1）²+y²=3[（x-1）²+y²]，
化简可得：（x-2）²+y²=3，
所以A点的轨迹为以（2，0）为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆，
所以，S_max=$\frac{1}{2}$BC•d=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$…6分
（2），设AB=c，BC=a，AC=b，由AB=$\sqrt{3}$AC，可得：c=$\sqrt{3}b$，
∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×{b}^{2}×sinA=1$，
∴b²sinθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b²=$\frac{2\sqrt{3}}{3sinθ}$，
∵a²=b²+c²-2bccosA=4b²-2$\sqrt{3}$b²cosA=$\frac{8\sqrt{3}}{3sinθ}$-$\frac{4cosθ}{sinθ}$，…10分
令f（θ）=$\frac{8\sqrt{3}}{3sinθ}$-$\frac{4cosθ}{sinθ}$，θ∈（0，π），
f′（θ）=-$\frac{8\sqrt{3}cosθ}{3si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{-8\sqrt{3}cosθ+12}{3si{n}^{2}θ}$，
令f′（θ）=0，可得：cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=$\frac{π}{6}$，…12分
∴f（θ）在（0，$\frac{π}{6}$）上单调递减，在（$\frac{π}{6}$，π）上单调递增，
∴当θ=$\frac{π}{6}$时，f（θ）有最小值，即BC最小…14分

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理以及导数的概念及其应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．