Question

13．函数$f（x）=\sqrt{2}sinx（cosx+sinx）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值是-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数f（x）为正弦型函数，求出x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$时f（x）的最小值．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{2}sinx（cosx+sinx）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
=$\sqrt{2}$sinxcosx+$\sqrt{2}$sin²x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cos2x）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{4}$）；
当x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$时，2x∈[0，π]，
2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]；
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1；
当x=0时，f（x）上的最小值是-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．