Question

15．已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0．+∞）时，2sinxcosx-f′（x）＞0且?x∈R，f（-x）+f（x）+cos2x=1．则下列说法一定正确的是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$-f（-$\frac{5π}{6}$）＞$\frac{3}{4}$-f（-$\frac{2π}{3}$）
• B． $\frac{1}{4}$-f（-$\frac{5π}{6}$）＞$\frac{3}{4}$-f（-$\frac{4π}{3}$）
• C． $\frac{3}{4}$-f（$\frac{π}{3}$）＞$\frac{1}{2}$-f（$\frac{3π}{4}$）
• D． $\frac{1}{2}$-f（-$\frac{3π}{4}$）＞$\frac{3}{4}$-f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 令F（x）=sin²x-f（x），可得F′（x）=2sinxcosx-f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．可得F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又?x∈R，f（-x）+f（x）+cos2x=1．可得f（-x）=sin²x-2sin²x+f（x）=-[sin²x-f（x）]，F（x）为奇函数．进而得出答案．

解答 解：令F（x）=sin²x-f（x），则F′（x）=2sinxcosx-f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又?x∈R，f（-x）+f（x）+cos2x=1．
∴f（-x）+f（x）=2sin²x，
∴sin²（-x）-f（-x）=sin²x-2sin²x+f（x）=-[sin²x-f（x）]，
故F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递增，∴$F（-\frac{5π}{6}）$＞F$（-\frac{4π}{3}）$．
即$\frac{1}{4}-f（-\frac{5π}{6}）$＞$\frac{3}{4}$-F$（-\frac{4π}{3}）$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性奇偶性、利用导数研究函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．