Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2，点P在底面上的射影在AC上E是AB的中点．
（1）证明：DE⊥平面PAC
（2）若PA=PC，且PA与面PBD所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先证明AC⊥DE由题可知面PAC⊥面ABCD，且交线为AC，可得DE⊥面PAC
（2取BC中点F，连接OE，OF，因为底面ABCD为矩形，所以OE⊥OF．建立如图所示的空间直角标系：A（1，-$\sqrt{2}$，0），B（1，$\sqrt{2}$，0），D（-1，-$\sqrt{2}$，0），P（0，0，a），$\overrightarrow{AP}=（-1，\sqrt{2}，a）$，由PA与面PBD所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得|$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{AP}\$|=|$\overrightarrow{c}$|×|$\overrightarrow{AP}$|×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，⇒a，再求出两个面的法向量即可．

解答

解：（1）在矩形ABCD中，AB：BC=$\sqrt{2}：1$，且E是AB的中点，
∴tan∠ADE=tan∠CAB=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，…（1分）
∴∠ADE=∠CAB，
∵∠CAB+∠DAC=90°，∴∠ADE+∠DAC=90°，即AC⊥DE．…（3分）
由题可知面PAC⊥面ABCD，且交线为AC，∴DE⊥面PAC．∴…（5分）
（2）：令AC与BD交于点O，∵PA=PC，且O是AC的中点，∴PO⊥AC．
∵面PAC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD．
取BC中点F，连接OE，OF，因为底面ABCD为矩形，所以OE⊥OF．建立如图所示的空间直角标系：
A（1，-$\sqrt{2}$，0），B（1，$\sqrt{2}$，0），D（-1，-$\sqrt{2}$，0），P（0，0，a），$\overrightarrow{AP}=（-1，\sqrt{2}，a）$…（6分）
设面PDB的法向量为$\overrightarrow{c}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，$\overrightarrow{DB}=（2，2\sqrt{2}，0），\overrightarrow{OP}=（0，0，a）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{DB}=2{x}_{1}+2\sqrt{2}{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{OP}=a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令${x}_{1}=\sqrt{2}$，∴面PDB的法向量为$\overrightarrow{c}=（\sqrt{2}，-1，0）$
由∵PA与面PBD所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴
|$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{AP}\$|=|$\overrightarrow{c}$|×|$\overrightarrow{AP}$|×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，⇒a=1
设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（-2，0，0）$，$\overrightarrow{AP}=（-1，\sqrt{2}，1）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=-2{x}_{2}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}+{z}_{2}=0}\end{array}\right.$ 令y₂=1
∴$\overrightarrow{m}=（0，-1，\sqrt{2}）$
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow n=（{x_3}，{y_3}，{z_3}）$，$\overrightarrow{AB}=（0，2\sqrt{2}，0），\overrightarrow{AP}=（-1，\sqrt{2}，1）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2\sqrt{2}{y}_{3}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-{x}_{3}+\sqrt{3}{y}_{3}+{z}_{3}=0}\end{array}\right.$，令x₃=1
∴$\overrightarrow{n}=（1，0，1）$ …（10分）
 cosθ=$\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  
∴二面角D-PA-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$     …（12分）
 

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，利用向量处理线面角、二面角问题，属于中档题．