Question

19．已知A、B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=λ（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{BQ}$）（λ∈R，|λ|＞1）．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：点P，Q，O三点共线；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）设F₁、F₂分别为双曲线和椭圆的右焦点，若QF₁∥PF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=λ（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{BQ}$）（λ∈R，|λ|＞1）．得到$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，由此能证明点P，Q，O三点共线．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），求出k₁+k₂=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，${k}_{3}+{k}_{4}=-\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，能出k₁+k₂+k₃+k₄的值．
（3）由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，推导出$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}+1}{2}{a}^{2}}\\{{{y}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}-1}{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，再由PF₁∥QF₂，得到（k₁+k₂）²=4，（k₃+k₄）²=4，由此能求出k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

解答 证明：（1）∵A、B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的公共顶点，
P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=λ（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{BQ}$）（λ∈R，|λ|＞1）．
∴$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，
∴点P，Q，O三点共线．
解：（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}•{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
同理，得：${k}_{3}+{k}_{4}=-\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∴k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$（$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$）=0．
（3）∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1}{λ}{x}_{1}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{λ}{y}_{1}}\end{array}\right.$，
∵$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=λ²，又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}+1}{2}{a}^{2}}\\{{{y}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}-1}{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，
又∵PF₁∥QF₂，∴|OF₁|=λ|OF₂|，
∴λ²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{λ}^{2}+1}{{λ}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{4}}{{b}^{4}}$，
∴（k₁+k₂）²=4•$\frac{{b}^{4}}{{a}^{4}}$•$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$=4•$\frac{{b}^{4}}{{a}^{4}}$•$\frac{{a}^{4}}{{b}^{4}}$=4，
同理（k₃+k₄）²=4，
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}$，且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
∴x₁²-a²=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$•y₁²，
∴k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$同理k₃k₄=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁•k₂+k₃•k₄）=4+4-0=8．

点评 本题考查圆锥曲线的综合，着重考查整体代换与方程思想，培养学生综合分析问题，解决问题的能力，属于难题．