Question

【题目】图1，在中，，，E为中点.以为折痕将折起，使点C到达点D的位置，且为直二面角，F是线段上靠近A的三等分点，连结，，，如图2.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取中点为M，连结，可得到平面，所以.计算，，根据勾股定理得到，故可证平面，从而得到.

（2）过E作，以E为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量和直线的方向向量，代入公式计算即可.

（1）设中点为M，连结.

因为E是中点，所以，又因为，所以.

因为为直二面角，即平面平面，

又因为平面平面，且平面，

所以平面.

因为平面，所以.

在中，，，，

所以，且.

因为F是上靠近A的三等分点，所以，.

在中，根据余弦定理，，

即，.

在中，，

所以，所以.

又因为，所以平面.

因为平面，所以.

（2）如图，过E作，则平面.

以E为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系

则，，，，.

故，，

，，

那么.

设平面的一个法向量为.

则，即，

取，得，，此时.

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成的角的正弦值为.