Question

【题目】如图，菱形与等边所在平面互相垂直，，，，分别是线段，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）．

【解析】

（1）法一：通过构造平行四边形的方法，证得平面；法二：通过构造面面平行的方法，证得平面．

（2）利用等体积法，计算出点到平面的距离．

（1）法一：如图，取线段的中点，连接，是线段的中点，

则且．

在菱形中为线段中点，

则且．

则且，

故四边形为平行四边形，

所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

法二：如图，取线段中点，连接，，

在中，，

因为平面，平面，

所以平面．

在菱形中，，

因为平面，平面，

所以平面．

又因为，且，平面，

所以平面平面．

因为平面，

所以平面．

（2）如图，在等边中取边中点，连接，

则，

因为平面平面且平面平面，

所以平面，

在菱形中，，是线段的中点，

所以．

连接，在中，，

在中，，

在中，．

设点到平面的距离为，

则，即，

，

，

解得，所以点到平面的距离为．