Question

【题目】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≤0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

Answer 1

【答案】(1) 见解析;(2)19. (3)n＝19.

【解析】试题分析：（1）确定X 的可能取值，求其概率即可得到X的分布列。

（2）根据（1）中求得的概率，可得到P(X≤18)以及P(X≤19)的概率值，即可确定n最小值为19。

（3）求得n＝19，n＝20时的数学期望，比较大小，所需费用期望值较小的，即n的取值。

试题解析：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4，0.2，0.2，

从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；

P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；

P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；

P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；

P(X＝21)＝2v0.2×0.2＝0.08；

P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

∴X的分布列为

X	16	17	18	19	20	21	22
P	0.04	0.16	0.24	0.24	0.2	0.08	0.04

(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，

P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.

(3)记Y表示2台机器在购买易损零上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×

0．08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.

当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.

可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.