Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=120°，PA=PD，E为PB的中点．
（1）证明：PD∥面ACE；
（2）若点P在面ABCD的射影在AD上，且BD与面ACE所成角为$\frac{π}{3}$，求PB．

Answer 1

分析 （1）连接BD，交AC于F，连接EF，则EF∥PD，即可证明PD∥面ACE；
（2）建立坐标系，求出平面ACE的一个法向量，利用BD与面ACE所成角为$\frac{π}{3}$，求PB．

解答 （1）证明：连接BD，交AC于F，连接EF，则EF∥PD．
∵PD?平面ACE，EF?平面ACE，
∴PD∥平面ACE；
（2）解：设AD 的中点为O，连接PO．
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
∵点P在面ABCD的射影在AD上，
∴PO⊥平面ABCD．
∵∠ABC=120°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BO⊥AD．
建立如图所示的坐标系，设OP=λ（λ＞0），则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{λ}{2}$），
∴$\overrightarrow{BD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（-3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{λ}{2}$），
设平面ACE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-3x+\sqrt{3}y=0}\\{-x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{λ}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{λ}$），
∵BD与面ACE所成角为$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{4+\frac{1}{{λ}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．