【题目】圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1: ﹣
=1过点P且离心率为
.
(1)求C1的方程;
(2)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
【答案】
(1)解:设切点P(x0,y0),(x0>0,y0>0),则切线的斜率为 ,
可得切线的方程为 ,化为x0x+y0y=4.
令x=0,可得 ;令y=0,可得
.
∴切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形的面积S= =
.
∵4= ,当且仅当
时取等号.
∴ .此时P
.
由题意可得 ,
,解得a2=1,b2=2.
故双曲线C1的方程为 .
(2)解:由(1)可知双曲线C1的焦点(± ,0),即为椭圆C2的焦点.
可设椭圆C2的方程为 (b1>0).
把P 代入可得
,解得
=3,
因此椭圆C2的方程为 .
由题意可设直线l的方程为x=my+ ,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 ,化为
,
∴ ,
.
∴x1+x2= =
,
x1x2= =
.
,
,
∵ ,∴
,
∴ +
,
∴ ,解得m=
或m=
,
因此直线l的方程为: 或
【解析】(1)设切点P(x0 , y0),(x0>0,y0>0),利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程,即可得出三角形的面积,利用基本不等式的性质可得点P的坐标,再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出;(2)由(1)可得椭圆C2的焦点.可设椭圆C2的方程为 (b1>0).把P的坐标代入即可得出方程.由题意可设直线l的方程为x=my+
,A(x1 , y1),B(x2 , y2),与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系,再利用向量垂直与数量积的关系即可得出.
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【题目】如图,函数y=2sin(πx+φ),x∈R(其中0≤φ≤ )的图象与y轴交于点(0,1).
(1)求φ的值.
(2)设P是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点,求tan∠MPN的值.
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【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0),直线y=x+
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴为半径的圆相切,F1 , F2为其左右焦点,P为椭圆C上的任意一点,△F1PF2的重心为G,内心为I,且IG∥F1F2 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知A为椭圆C上的左顶点,直线∫过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点,若AM,AN的斜率k1 , k2满足k1+
k2=﹣ ,求直线MN的方程.
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【题目】所谓正三棱锥,指的是底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥,在正三棱锥S﹣ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2 ,则正三棱锥S﹣ABC的体积为 , 其外接球的表面积为 .
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【题目】据气象部门预报,在距离码头A南偏东45°方向400千米B处的台风中心正以20千米每小时的速度向北偏东15°方向沿直线移动,以台风中心为圆心,距台风中心100 千米以内的地区都将受到台风影响.据以上预报估计,从现在起多长时间后,码头A将受到台风的影响?影响时间大约有多长?
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【题目】设圆满足:(1)截
轴所得弦长为2;(2)被
轴分成两段圆弧,其弧长的比为
.在满足条件(1)、(2)的所有圆中,圆心到直线
的距离最小的圆的方程为__________.
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【题目】某校从参加高三期中考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分),数学成绩分组及样本频率分布表如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[40,50) | 2 | 0.04 |
[50,60) | 3 | 0.06 |
[60,70) | 14 | 0.28 |
[70,80) | 15 | ② |
[80,90) | ① | 0.24 |
[90,100] | 4 | 0.08 |
合计 | ③ | ④ |
(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上;
(2)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩[90,100]中选两位同学,共同帮助[40,50)中的某一位同学,已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.
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【题目】连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2 和4
,M、N分别是AB、CD的中点,两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①弦AB、CD可能相交于点M;
②弦AB、CD可能相交于点N;
③MN的最大值是5;
④MN的最小值是1;
其中所有正确命题的序号为 .
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【题目】设不等式组 所表示的平面区域为Dn , 记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点)的个数为f(n)(n∈N*).
(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;
(2)设bn=2nf(n),Sn为{bn}的前n项和,求Sn;
(3)记 ,若对于一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围.
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