Question

【题目】连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2 和4 ，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M；
②弦AB、CD可能相交于点N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正确命题的序号为 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，
若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．
分别取球O的两条弦AB、CD的中点E、F，则OE= ，OF= ，
即可以看做弦AB、CD分别是球半径为3和2的球的切线，且弦AB在半径为2的球的外部，
弦AB与CD只可能相交与M点，且MN的最大距离为2+3=5，最小距离为3﹣2=1，当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．
综上可得正确的命题的序号为①③④．
所以答案是：①③④．
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．