【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,对任意
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,见解析;(2)
【解析】
(1)先由题意得到定义域,对函数求导,分别讨论和
两种情况,即可得出结果;
(2)因为,由(1)得到函数
在
上单调递增,不妨设
,则
可化为
,令
,则
为
上的减函数,对
求导,根据函数
单调性,即可得出结果.
(1)∵依题意可知:函数的定义域为
,
∴,
当时,
在
恒成立,所以
在
上单调递增.
当时,由
得
;由
得
;
综上可得当时,
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递减;在
上单调递增.
(2)因为,由(1)知,函数
在
上单调递增,
不妨设,则
,
可化为,
设,则
,
所以为
上的减函数,
即在
上恒成立,等价于
在
上恒成立,
设,所以
,
因,所以
,所以函数
在
上是增函数,
所以(当且仅当
时等号成立)
所以.
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【题目】如图,三棱锥,侧棱
,底面三角形
为正三角形,边长为
,顶点
在平面
上的射影为
,有
,且
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
使得
⊥平面
,如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知等差数列的前
项和为
,并且
,
,数列
满足:
,
,记数列
的前
项和为
.
(1)求数列的通项公式
及前
项和公式
;
(2)求数列的通项公式
及前
项和公式
;
(3)记集合,若
的子集个数为16,求实数
的取值范围.
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【题目】为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型:以
表示第
个时刻进入园区的人数;以
表示第
个时刻离开园区的人数.设定以
分钟为一个计算单位,上午
点
分作为第
个计算人数单位,即
;
点
分作为第
个计算单位,即
;依次类推,把一天内从上午
点到晚上
点
分分成
个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数).
(1)试计算当天点至
点这一小时内,进入园区的游客人数
、离开园区的游客人数
各为多少?
(2)假设当日园区游客总人数达到或超过万时,园区将采取限流措施.该单位借助该数学模型知晓当天
点(即
)时,园区总人数会达到最高,请问当日是否要采取限流措施?说明理由.
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【题目】已知点,
是坐标轴上两点,动点
满足直线
与
的斜率之积为
(其中
为常数,且
).记
的轨迹为曲线
.
(1)求的方程,并说明
是什么曲线;
(2)过点斜率为
的直线与曲线
交于点
,点
在曲线
上,且
,若
,求
的取值范围.
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【题目】已知直线、
与曲线
分别相交于点
、
和
、
,我们将四边形
称为曲线
的内接四边形.
(1)若直线和
将单位圆
分成长度相等的四段弧,求
的值;
(2)若直线,
与圆
分别交于点
、
和
、
,求证:四边形
为正方形;
(3)求证:椭圆的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积.
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【题目】已知椭圆C:(
)的焦距为
,且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于
、
,且在椭圆C上存在点M,使得:
(其中O为坐标原点),则称直线l具有性质H.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l垂直于x轴,且具有性质H,求直线l的方程;
(3)求证:在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线、
、
都具有性质H.
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【题目】已知点,(
为正整数)都在函数
的图象上.
(1)若数列是等差数列,证明:数列
是等比数列;
(2)设,过点
的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为
,试求最小的实数
,使
对一切正整数
恒成立;
(3)对(2)中的数列,对每个正整数
,在
与
之间插入
个3,得到一个新的数列
,设
是数列
的前
项和,试探究2016是否是数列
中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明.
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【题目】李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的
,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
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