【题目】已知等差数列的前
项和为
,并且
,
,数列
满足:
,
,记数列
的前
项和为
.
(1)求数列的通项公式
及前
项和公式
;
(2)求数列的通项公式
及前
项和公式
;
(3)记集合,若
的子集个数为16,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
试题(1)数列是等差数列,可把已知用
表示出来,列出方程组,解出
,从而得到通项公式和胶
项和
;(2)由已知得
,这是数列前后项的比值,因此可用连乘法求得通项
,即
,从而有
,它可看作是一个等差数列和一个等比数列的乘积,因此其前
项和用乘公比错位相减法求得;(3)由(1)(2)求得
,不等式
恒成立,即
恒成立,只要求得
的最小值即可,先求出前面几项
,观察归纳猜想出
单调性并给出证明(可用
证明数列的单调性),从而可求得最小值,得范围.
试题解析:(1)设数列的公差为
,由题意得
(2)由题意得
叠乘得
由题意得①
②
②-①得:
(3)由上面可得令
则
下面研究数列的单调性,
时,
即
单调递减.
所以不等式解的个数为4,
.
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【题目】一次猜奖游戏中,1,2,3,4四扇门里摆放了,
,
,
四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说:1号门里是
,3号门里是
;乙同学说:2号门里是
,3号门里是
;丙同学说:4号门里是
,2号门里是
;丁同学说:4号门里是
,3号门里是
.如果他们每人都猜对了一半,那么4号门里是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图,.原有观光道路OC,且
.为便于游客观赏,景点管理部门决定新建两条道路PQ、PA,其中P在原道路OC(不含端点O、C)上,Q在景点边界OB上,且
,同时维修原道路的OP段,因地形原因,新建PQ段、PA段的每千米费用分别是
万元、
万元,维修OP段的每千米费用是
万元.
(1)设,求所需总费用
,并给出
的取值范围;
(2)当P距离O处多远时,总费用最小.
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【题目】某公司生产的某批产品的销售量万件(生产量与销售量相等)与促销费用
万元满足
(其中
,
为正常数).已知生产该产品还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
元
件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
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【题目】已知椭圆的两个焦点
,
与短轴的一个端点构成一个等边三角形,且直线
与圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆的左顶点
的两条直线
,
分别交椭圆
于
,
两点,且
,求证:直线
过定点,并求出定点坐标;
(3)在(2)的条件下求面积的最大值.
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【题目】2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下,学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划,又能发挥学科优势,进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后,学生将在高二年级将面临着的选课模式,其中“3”是指语、数、外三科必学内容,“1”是指在物理和历史中选择一科学习,“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况,学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查,依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图:根据这两幅图中的信息,下列哪个统计结论是不正确的( )
A.样本中的女生数量多于男生数量
B.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量
C.样本中的男生偏爱物理
D.样本中的女生偏爱历史
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线
的焦点重合.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为的直线过点
,且与抛物线
交于
两点,设点
,
的面积为
,求
的值;
(3)若直线过点
,且与椭圆
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,直线
的纵截距为
,证明:
为定值.
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