【题目】如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图,.原有观光道路OC,且
.为便于游客观赏,景点管理部门决定新建两条道路PQ、PA,其中P在原道路OC(不含端点O、C)上,Q在景点边界OB上,且
,同时维修原道路的OP段,因地形原因,新建PQ段、PA段的每千米费用分别是
万元、
万元,维修OP段的每千米费用是
万元.
(1)设,求所需总费用
,并给出
的取值范围;
(2)当P距离O处多远时,总费用最小.
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【题目】现有流量均为的两条河流
汇合于某处后,不断混合,它们的含沙量分别为
和
.假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流在流往相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在1秒内交换
的水量,其交换过程为从A股流入B股
的水量,经混合后,又从B股流入A股
水并混合,问从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于
.(不考虑泥沙沉淀).
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【题目】如图,三棱锥,侧棱
,底面三角形
为正三角形,边长为
,顶点
在平面
上的射影为
,有
,且
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
使得
⊥平面
,如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】设椭圆的左焦点为
,上顶点为
.已知椭圆的短轴长为4,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点
为直线
与
轴的交点,点
在
轴的负半轴上.若
(
为原点),且
,求直线
的斜率.
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【题目】已知函数的图象过点
和点
.
(1)求函数的最大值与最小值;
(2)将函数的图象向左平移
个单位后,得到函数
的图象;已知点
,若函数
的图象上存在点
,使得
,求函数
图象的对称中心.
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【题目】已知等差数列的前
项和为
,并且
,
,数列
满足:
,
,记数列
的前
项和为
.
(1)求数列的通项公式
及前
项和公式
;
(2)求数列的通项公式
及前
项和公式
;
(3)记集合,若
的子集个数为16,求实数
的取值范围.
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【题目】为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型:以
表示第
个时刻进入园区的人数;以
表示第
个时刻离开园区的人数.设定以
分钟为一个计算单位,上午
点
分作为第
个计算人数单位,即
;
点
分作为第
个计算单位,即
;依次类推,把一天内从上午
点到晚上
点
分分成
个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数).
(1)试计算当天点至
点这一小时内,进入园区的游客人数
、离开园区的游客人数
各为多少?
(2)假设当日园区游客总人数达到或超过万时,园区将采取限流措施.该单位借助该数学模型知晓当天
点(即
)时,园区总人数会达到最高,请问当日是否要采取限流措施?说明理由.
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【题目】已知点,(
为正整数)都在函数
的图象上.
(1)若数列是等差数列,证明:数列
是等比数列;
(2)设,过点
的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为
,试求最小的实数
,使
对一切正整数
恒成立;
(3)对(2)中的数列,对每个正整数
,在
与
之间插入
个3,得到一个新的数列
,设
是数列
的前
项和,试探究2016是否是数列
中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明.
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