Question

4．阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ   ①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ   ②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ  ③
令α+β=A，α-β=B 有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$
代入③得 sinA+sinB=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：
cosA-cosB=2sin$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$．；
（Ⅱ）在△ABC中，求T=sinA+sinB+sinC+sin$\frac{π}{3}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角和与差的余弦公式，两式相加，即可证明：cosA-cosB=2sin$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$．；
（Ⅱ）在△ABC中，利用放缩法即可求T=sinA+sinB+sinC+sin$\frac{π}{3}$的最大值．

解答 （Ⅰ）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，②
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ． ③
令α+β=A，α-β=B 有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$
代入③得 cosA-cosB=2sin$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$．
（Ⅱ）T=sinA+sinB+sinC+sin$\frac{π}{3}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$+sin（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$）
≤2sin$\frac{A+B}{2}$+2sin（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{6}$）=4sin（$\frac{A+B+C}{4}$+$\frac{π}{12}$）cos（$\frac{A+B+C}{4}$-$\frac{π}{12}$）
≤4sin（$\frac{A+B+C}{4}$+$\frac{π}{12}$）=4sin$\frac{π}{3}$
当且仅当cos$\frac{A-B}{2}$=1，cos（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$）=1，cos（$\frac{A+B+C}{4}$-$\frac{π}{12}$）=1时等号成立，即A=B=C=$\frac{π}{3}$时，所求最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查两角和与差的余弦公式，考查合情推理，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．