Question

17．若函数f（x）=log₂（x+$\frac{m}{x}$-1）在（3，+∞）上是增函数，则m的取值范围是[-6，9]．

Answer 1

分析 令t=x+$\frac{m}{x}$-1，若函数f（x）=log₂（x+$\frac{m}{x}$-1）在（3，+∞）上是增函数，则t=x+$\frac{m}{x}$-1在（3，+∞）上是增函数，且恒为正，进而得到m的取值范围．

解答 解：令t=x+$\frac{m}{x}$-1，
若函数f（x）=log₂（x+$\frac{m}{x}$-1）在（3，+∞）上是增函数，
则t=x+$\frac{m}{x}$-1在（3，+∞）上是增函数，且恒为正，
∴t′=1-$\frac{m}{{x}^{2}}$≥0在（3，+∞）上恒成立，且3+$\frac{m}{3}$-1≥0，
解得：m∈[-6，9]，
故答案为：[-6，9]

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，难度中档．