Question

6．已知函数f（x）=ln（mx）-x+1，g（x）=（x-1）e^x-mx，m＞0．
（Ⅰ）若f（x）的最大值为0，求m的值；
（Ⅱ）求证：g（x）仅有一个极值点x₀，且$\frac{1}{2}$ln（m+1）＜x₀＜m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，令h（x）=xe^x-m，求出h（x）的最小值，得到h（x）仅有一个零点x₀，且在（-1，m）内，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）由m＞0得f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，当x=1时，f′（x）=0；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=1时，f（x）取得最大值0，
则f（1）=0，即lnm=0，
故m=1．…（4分）
（Ⅱ）g′（x）=xe^x-m，令h（x）=xe^x-m，
则h′（x）=（x+1）e^x，当x=-1时，h′（x）=0；
当x＜-1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞-1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
故当x=-1时，h（x）取得最小值h（-1）=-e^-1-m＜0．
当x＜-1时，h（x）＜0，h（x）无零点，
注意到h（m）=me^m-m＞0，
则h（x）仅有一个零点x₀，且在（-1，m）内．…（8分）
由（Ⅰ）知lnx≤x-1，又m＞0，则$\frac{1}{2}$ln（m+1）∈（0，$\frac{1}{2}$m）．
而h（$\frac{1}{2}$ln（m+1））=h（ln$\sqrt{m+1}$）
=$\sqrt{m+1}$ln$\sqrt{m+1}$-m＜$\sqrt{m+1}$（$\sqrt{m+1}$-1）-m
=1-$\sqrt{m+1}$＜0，则x₀＞$\frac{1}{2}$ln（m+1），
故h（x）仅有一个零点x₀，且$\frac{1}{2}$ln（m+1）＜x₀＜m．
即g（x）仅有一个极值点x₀，且$\frac{1}{2}$ln（m+1）＜x₀＜m．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．