Question

11．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosφ}\\{y=\sqrt{3}+tsinφ}\end{array}\right.$（t为参数，φ∈[0，$\frac{π}{3}$]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），即$（1，\sqrt{3}）$，半径为2，可得圆的标准方程为：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4，展开 利用互化公式即可化为极坐标方程．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t²+2tcosφ-3=0，利用根与系数的关系可得：|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），即$（1，\sqrt{3}）$，半径为2，可得圆的标准方程为：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4，
展开可得：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y=0，化为极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ=4cos$（\frac{π}{3}-θ）$．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t²+2tcosφ-3=0，
∴t₁+t₂=-2cosφ，t₁t₂=-3．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{co{s}^{2}φ+3}$，
∵φ∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴cosφ∈$[\frac{1}{2}，1]$，cos²φ∈$[\frac{1}{4}，1]$．
∴|MN|∈$[\sqrt{13}，4]$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．