Question

12．点P（x，y）在三角形ABC的边界和内部运动，其中A（1，0），B（2，1），C（4，4），已知m＞0，n＞0．
（1）求z=2x-y的最小值M和最大值N；
（2）若m+n=M，求$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值，并求此时的m，n的值；
（3）若m+n+mn=N，求mn的最大值和m+n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意作出△ABC的平面区域，利用线性规划的知识求出z的最大值M与最小值N；
（2）利用基本不等式求出$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值以及对应的m、n的值；
（3）利用基本不等式m+n≥2$\sqrt{mn}$和mn≤${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$，即可求出mn的最大值与m+n的最小值．

解答 解：（1）由题意作出△ABC的平面区域，如图所示；
将z=2x-y化为y=2x-z，-z相当于直线y=2x-z的纵截距，
则由几何意义可得，
在点C处取得最大值N=2×4-4=4，
点A处取得最小值M=2×1-0=2．
（2）∵m＞0，n＞0，m+n=2，
∴$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{2（m+n）}{m}$+$\frac{9（m+n）}{2n}$
=$\frac{2n}{m}$+$\frac{9m}{2n}$+$\frac{13}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{9m}{2n}}$+$\frac{13}{2}$=$\frac{25}{2}$，
当且仅当2n=3m时“=”成立，
∴$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值是$\frac{25}{2}$，此时m=$\frac{4}{5}$，n=$\frac{6}{5}$；
（3）当m+n+mn=4时，m+n≥2$\sqrt{mn}$，
∴2$\sqrt{mn}$+mn≤4，
解得-1-$\sqrt{5}$≤$\sqrt{mn}$≤-1+$\sqrt{5}$，
∴mn≤${（-1+\sqrt{5}）}^{2}$=6-2$\sqrt{5}$，
即mn的最大值是6-2$\sqrt{5}$；
又mn≤${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$，
∴（m+n）+${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$≥4，
解得m+n≥2$\sqrt{5}$-2或m+n≤-2$\sqrt{5}$-2（不合题意，舍去），
∴m+n的最小值是2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，也考查了基本不等式的灵活应用问题，是综合性题目．