Question

20．已知正三棱锥P-ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是$3（\sqrt{15}+\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 画出图形，求出正三棱锥的底面边长，侧棱长以及斜高，然后求解正三棱锥的表面积．

解答 解：正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上．
所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，
则R=2，
由题意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高为：3．
则AB=3，AB=2$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，PA=3$\sqrt{2}$，
则该正三棱锥的表面积是：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3+3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{15}$．
故答案为：$3（\sqrt{15}+\sqrt{3}）$．

点评 本题考查空间几何体的表面积的求法，正三棱锥与外接球的关系，考查空间想象能力以及计算能力．