Question

13．函数f（x）=2x-e^x+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；
（2）求出f（x）在（0，1）为正，a≤0时，符合题意，a＞0时，通过讨论①0＜a≤1，②a＞1时的情况，结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

解答 解：（1）f（x）=2x-e^x+1，f′（x）=2-e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2，
∴f（x）在（-∞，ln2）递增，在（ln2，+∞）递减，
∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2-1；
（2）x∈（0，1）时，f（x）在（0，ln2）递增，在（ln2，1）递减，
且f（0）=0，f（1）=3-e＞0，∴f（x）＞0，
∵tanx＞0，∴a≤0时，af（x）≤0＜tanx；
a＞0时，令g（x）=tanx-af（x），
则g′（x）=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$+a（e^x-2），
∴g（x）在（0，1）递增且g′（0）=1-a，
①0＜a≤1时，g′（0）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0，
∴此时g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立，
②a＞1时，g′（0）＜0，g′（1）＞0，
∴?x₀∈（0，1），使得g′（x₀）=0，
即x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
又g（0）=0，
∴g（x）＜0与af（x）＜tanx矛盾，
综上：a≤1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．