Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，若f（x）=$\frac{11}{5}$，求f（x-$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算可以求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1+2sin（2x+\frac{π}{6}）$，从而得出f（x）的最小正周期为π，令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，求出x的范围便得到f（x）的单调递增区间；
（2）由f（x）=$\frac{11}{5}$可以得到sin（2x$+\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，而根据x的范围，便可得到cos$（2x+\frac{π}{6}）=-\frac{4}{5}$，从而f（x$-\frac{π}{12}$）=1+2sin2x，将2x写成：2x=（2x$+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$，由两角差的正弦公式即可求出sin2x，从而求出f（x-$\frac{π}{12}$）．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x$=$1+2sin（2x+\frac{π}{6}）$；
∴$f（x）=1+2sin（2x+\frac{π}{6}）$；
∴f（x）的最小正周期为π；
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z；
∴$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z；
∴f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$，k∈Z；
（2）$令1+2sin（2x+\frac{π}{6}）=\frac{11}{5}$，则：sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$；
∵$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{2}$；
∴$\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤π+\frac{π}{6}$；
sin$（2x+\frac{π}{6}）＞0$；
∴$\frac{π}{2}＜2x+\frac{π}{6}＜π$；
∴cos（$2x+\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$；
∴$f（x-\frac{π}{12}）=1+2sin2x$=$1+2sin[（2x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]$=$1+2[sin（2x+\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}-cos（2x+\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}]$
=$1+2[\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}-（-\frac{4}{5}）×\frac{1}{2}]$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}+\frac{9}{5}$．

点评 考查数量积的坐标运算，两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及形如y=Asin（ωx+φ）的函数的周期及单调区间的求法．