Question

已知圆C的圆心在直线3x-y=0上且在第一象限，圆C与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为2

7

．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P（x，y）是圆C上的点，满足

3

x+y-m≤0恒成立，求m的取值范围；
（3）将圆C向左移1个单位，再向下平移3个单位得到圆C₁，P为圆C₁上第一象限内的任意一点，过点P作圆C₁的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设

OM

=

OA

+

OB

，求丨

OM

丨的最小值（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用,向量的加法及其几何意义,圆的标准方程

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：（1）根据圆心在3x-y=0上，设出圆心C坐标以及半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到x-y=0的距离d，由弦长与半径，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心与半径，写出圆C的方程即可．
（2）设出圆C的参数方程，不等式

3

x+y-m≤0恒成立，即为m≥

3

x+y恒成立，求出

3

x+y的最大值，即可确定出m的范围．
（3）利用平移规律确定出圆C₁的方程，

解答： 解：（1）根据题意设圆心C（a，3a），a＞0，半径为3a，
∵圆心到直线x-y=0的距离d=

|a-3a|

2

=2a，弦长为2

7

，半径为3a，
∴2

7

=2

r2-d2

，即7a²=7，
解得：a=1，则圆C方程为（x-1）²+（y-3）²=9．
（2）根据圆C方程设x=1+cosα，y=3+sinα，
不等式

3

x+y-m≤0恒成立，即为m≥

3

x+y恒成立，
∵

3

x+y=

3

+3+

3

cosα+sinα=

3

+3+2sin（α+θ）的最大值为

3

+3+2=

3

+5，
则m满足m≥

3

+5，故 m的取值范围为[

3

+5，+∞）．
（3）由条件利用平移规律确定出圆C₁的方程为 （x-0）²+（y-0）²=9，
设点P的坐标为（x₀，y₀），则有x₀＞0，y₀＞0，且x02+y02=9，
故切线l的方程为 x₀•x+y₀•y=9，
由此可得点A（

9

x0

，0），点B的坐标为（0，

9

y0

），
∴

OM

=

OA

+

OB

=（

9

x0

，

9

y0

），

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆的参数方程，考查向量知识的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．