Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n+1（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数g（x）=log₂x，若{g（b_n）}是首项为1，公差为1的等差数列，求数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）先求出b_n=2ⁿ，再利用错位相减法，即可求数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=3；                                …（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n+1）-[（n-1）²+（n-1）+1]=2n，
当n=1时，2n=2≠a₁，
∴a_n=

3，n=1 2n．n≥2

                              …（5分）
（2）∵{g（b_n）}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴g（b_n）=n，
∵g（x）=log₂x，
∴log₂b_n=n，
∴b_n=2ⁿ，
∴T₁=a₁•b₁=6  …（7分）
当n≥2时，a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=6+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹         ①
2T_n=6×2+2×2⁴+3×2⁵+…+n•2ⁿ⁺²   ②…（9分）
由②-①有T_n=-10-（2⁴+2⁵…+2ⁿ⁺¹）+n•2ⁿ⁺²=6+（n-1）•2ⁿ⁺²，③…（11分）
∴n=1也满足上式，
因此T_n=6+（n-1）•2ⁿ⁺²．                        …（12分）

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式，考查错位相减法，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．