Question

如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=

3

．
（Ⅰ）求证：AC⊥BF
（Ⅱ）求二面角F-BD-A的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以CD为x轴，CA为y轴，以CE为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BF．
（Ⅱ）求出平面ABD的一个法向量和平面FBD的一个法向量，利用向量法能求出二面角F-BD-A的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵CD=AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=

3

，
∴AC=

3

，满足CD²+CA²=AD²，
∴CD⊥CA，…（2分）
又EC⊥平面ABCD，故以CD为x轴，CA为y轴，
以CE为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），D（1，0，0），
A（0，

3

，0），F（0，

3

，

3

），
B（-1，

3

，0）…（4分）
∴

CA

=(0，

3

，0)，

BF

=（1，0，

3

），

DF

=（-1，

3

，

3

），
∴

CA

•

BF

=0，∴AC⊥BF．…（6分）
（Ⅱ）平面ABD的一个法向量

n

=(0，0，1)，
设平面FBD的一个法向量

m

=(x，y，z)
且

DB

=(-2，

3

，0)，

DF

=（-1，

3

，

3

），
由

m • DB =0 m • DF =0

得

-2x+ 3 y=0 -x+ 3 y+ 3 z=0

…（8分）
∴

x= 3 2 y y=-2z

，令z=1得

m

=（-

3

，-2，1），…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

4

，
故所求二面角F-BD-A的大小为arccos

2

4

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．