Question

已知函数f（x）=e^x+e^-x．
（1）判断并证明f（x）的单调性；
（2）若e^t[f（2t）+2]+mf（t）≥0对于t∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设函数g（x）=[f（x）-e^-x-a]²+[f（x）-e^x-a]²（0＜a＜2），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x），分别令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，解得x即可得出函数的单调区间；
（2）代入分离参数，利用函数y=-e^2x-1的单调性即可得出；
（3）函数g（x）=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-2．通过换元令s=e^x+e^-x≥2，则g（x）=h（s）=s²-2as+2a²-2=（s-a）²+a²-2．
由于s≥2，0＜a＜2．利用二次函数的单调性即可得出h（s）≥h（2）．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-e^-x=

(ex+1)(ex-1)

ex

，
令f′（x）＞0，解得x＞0，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得x＜0，此时函数f（x）单调递减．
（2）e^t[f（2t）+2]+mf（t）=e^t（e^2t+e^-2t+2）+m（e^t+e^-t）
=e^t（e^t+e^-t）²+m（e^t+e^-t）=（e^t+e^-t）（e^2t+1+m）≥0对于t∈[0，1]恒成立，
∴m≤（-e^2t-1）_min，t∈[0，1]．而（-e^2t-1）_min=-e²-1．∴m≤-e²-1．
（3）函数g（x）=[f（x）-e^-x-a]²+[f（x）-e^x-a]²=（e^x-a）²+（e^-x-a）²=e^2x+e^-2x-2a（e^x+e^-x）+2a²=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-2．
令s=e^x+e^-x≥2，则g（x）=h（s）=s²-2as+2a²-2=（s-a）²+a²-2．
∵s≥2，0＜a＜2．
∴h（s）在[2，+∞）单调递增，∴h（s）≥h（2）=2²-4a+2a²-2=2a²-4a+2．
即h（s）_min=2a²-4a+2．亦即函数g（x）的最小值为2a²-4a+2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了换元法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．