(1)∵a=0,∴
f(x)=+lnx,
∴
f′(x)=-+则f(x)在
x=处切线的斜率
k=f′()=-2…(4分)
(2)函数f(x)的定义域为x∈(0,+∞),
f′(x)=-①当a=0时,
f′(x)=-+,令f'(x)=0,解得x=1,
∴x∈(0,1),f'(x)<0;x∈(1,+∞),f'(x)>0
∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1)…(6分)
②当
0<a<时,
f′(x)=-=0,解得x
1=1或
x2=-1且x
1<x
2列表
x | (0,1) | 1 | (1,-1) | -1 | (-1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ↓ | 极小值 | ↑ | 极大值 | ↓ |
由表可知函数f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为
(1,-1),单调递减区间为
(-1,+∞);
③当
a=时,
f′(x)=-≤0,∴函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞).…(10分)
(3)
a=∈(0,),
f′(x)=-=0,解得x
1=1或x
2=3
∵x∈(0,2),∴f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(1,2),
∴f(x)的最小值为
f(1)=原命题等价于g(x)在x∈[1,2]的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值
,
又g(x)=x
2-2bx+3x∈[1,2]
①当b<1时,g(x)的最小值为g(1)=4-2b>2,不合;
②当b∈[1,2]时,g(x)的最小值为
g(b)=3-b2≤,解得
≤b≤2;
③当b∈(2,+∞)时,g(x)的最小值为
g(2)=7-4b≤,解得b>2,
综上,b的取值范围
[,+∞).…(14分)