Question

10．已知抛物线的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4{t^2}}\\{y=4t}\end{array}}\right.$，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$，求得答案．

解答 解：抛物线的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4{t^2}}\\{y=4t}\end{array}}\right.$，普通方程为y²=4x，抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，
则直线方程为y=x-1，代入抛物线方程y²=4x得
x²-6x+1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=6
根据抛物线的定义可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$
=x₁+x₂+p=6+2=8，
故选C．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．