Question

2．设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[-2，0]上单调递减，若f（1-m）＜f（1+m），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（x）在[-2，0]上单调递减，进而分析可得$\left\{\begin{array}{l}-2≤1-m≤2①\\-2≤1+m≤2②\\|{1-m}|＜|{1+m}|③\end{array}\right.$，解可得m的取值范围，即可得答案．

解答 解：∵f（x）是[-2，2]上的偶函数，
且在[-2，0]上单调递减，
∴f（x）在[0，2]上单调递增，
由f（1-m）＜f（1+m）得$\left\{\begin{array}{l}-2≤1-m≤2①\\-2≤1+m≤2②\\|{1-m}|＜|{1+m}|③\end{array}\right.$
解①得-3≤m≤1，
解②得-1≤m≤3，
由①②得-1≤m≤1，
则③可化简为（1-m）²＜（1+m）²，
得m＞0，
综上得m的范围为0＜m≤1．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是综合利用函数的奇偶性与单调性，得到关于m的不等式组．