Question

18．已知函数f（x）=|a-3x|-|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1-a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=2时：f（x）=|3x-2|-|x+2|≤3，
$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{2}{3}}\\{3x-2-x-2≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜\frac{2}{3}}\\{2-3x-x-2≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{2-3x+x+2≤3}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{4}$≤x≤$\frac{7}{2}$；
（2）不等式f（x）≥1-a+2|2+x|成立，
即|3x-a|-|3x+6|≥1-a，
由绝对值不等式的性质可得||3x-a|-|3x+6||≤|（3x-a）-（3x+6）|=|a+6|，
即有f（x）的最大值为|a+6|，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥0}\\{{（a+6）}^{2}{≥（1-a）}^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜0}\\{a+6≥0}\end{array}\right.$，
解得：a≥-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．