Question

10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都是$\sqrt{2}$，且顶点A₁在底面ABC上的射影O为△ABC的中心，则三棱锥A₁-ABC的体积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可知，O为底面正三角形的重心，由重心的性质求得OA，进一步求出三棱锥的高，代入体积公式得答案．

解答 解：如图，

由题意可知，底面三角形ABC为正三角形，
由O为△ABC的中心，可知O为△ABC的外心，
则O为底面高的$\frac{2}{3}$，
∵底面三角形的边长为$\sqrt{2}$，
∴底面三角形的高为$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△A₁AO中，由${A}_{1}A=\sqrt{2}，OA=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得$O{A}_{1}=\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱锥A₁-ABC的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查锥体体积的求法，关键是掌握三角形重心的性质，是中档题．