Question

19．若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的外接球的体积是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π
• B． $\frac{4}{3}$π
• C． $\sqrt{6}$π
• D． 8$\sqrt{6}$π

Answer 1

分析 由三视图知几何体是三棱锥，画出直观图，由图求出棱长、判断出线面的位置关系，由线面垂直的定义、判定定理证明出AC⊥CD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出球的半径，由球的体积公式求出几何体的外接球的体积．

解答 解：由三视图知几何体是三棱锥A-BCD，
直观图如图所示：取AD的中点M，连接BM，CM，
其中底面△BCD是等腰直角三角形，$BC=CD=\sqrt{2}$，
AB⊥平面BCD，BC⊥CD，$AB=\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2，
∵AB⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，则AC⊥CD，
∵AB⊥BD，且M是AD的中点，
∴$BM=CM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\sqrt{{2^2}+{{（{\sqrt{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
则该几何体的外接球的半径是$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴该几何体的外接球的体积为$\frac{4}{3}π{（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）^3}=\sqrt{6}π$，
故选C．

点评 本题考查由三视图求几何体外接球的体积，线面垂直的定义、判定定理，由三视图正确复原几何体以及确定外接球的球心是解题的关键，考查空间想象能力．