Question

7．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（Ⅰ）应收集多少位男生的样本数据？
（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（Ⅲ）在样本数据中有60位女生每周平均体育运动时间超过4小时，请根据独立性检验原理，判断该校学生每周平均体育运动时间与性别是否有关，这种判断有多大把握？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知可得抽样比为$\frac{10500}{15000}$，进而得到答案；
（Ⅱ）有频率直方图求出各组频率，进而可得频率分步直方图；
（Ⅲ）有（Ⅰ），（Ⅱ）得到列联表，计算出临界值，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）300×$\frac{10500}{15000}$=210，所以应收集多少210位男生的样本数据．
（Ⅱ）有频率直方图可得1-（0.025+0.100）×2=0.75，
所以，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
（Ⅲ）有（Ⅰ），（Ⅱ）可知300位学生中有300×0.75=225人每周平均体育运动时间超过4小时，其中因女生有60人，则男生165人．结合样本数据，可得每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

	男生	女生	总计
每周平均体育运动时间不超过4小时	45	30	75
每周平均体育运动时间超过4小时	165	60	225
总计	210	90	300

.${k}^{2}=\frac{300（45×60-165×30）^{2}}{75×225×210×90}=\frac{100}{21}≈4.762＞3.874$
所以有95%的把握认为“该校学生每周平均体育运动时间与性别有关”．

点评 本题考查的知识点是独立性检验，频率分布直方图，分层抽样，是统计和概率的综合应用，难度中档．