Question

设函数f（x）=x³+3bx²+3cx存在两个极值点x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]则b²+c²的范围为

 

．

Answer 1

分析：由f（x）得f′（x）=3x²+6bx+3c由题意知方程f′（x）=0有两个根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]则由根的分布得有2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0．正确理解b²+c²的含义是距离的平方，再结合线性规划求出答案即可．

解答：解：f′（x）=3x²+6bx+3c，
由题意知方程f′（x）=0有两个根x₁，x₂，
且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]则有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
即满足下列条件
2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0．
故有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点（b，c）的区域．
则b²+c²表示点（b，c）与原点距离的平方．
根据两点之间的距离公式与点到直线的距离公式可得：b²+c²的范围为[

1

5

，

17

4

]．
故答案为[

1

5

，

17

4

]．

点评：解决此类问题的关键是熟悉导数与实根分布问题的处理方法，进而转化为利用线性规划问题求最值（距离的平方、在y轴上的截距、直线的斜率），像这种综合性较强的题目是学生的难点也是高考考查的重点．