Question

7．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（x）在（1，+∞）上单调递增，
①求证：f（x）在（0，1）上单调递增；
②如果f（3）=1，解关于x的不等式f（5x）＞f（x-1）+2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法进行求f（1）的值；      
（2）①根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明．
②根据函数单调性的性质解不等式即可．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0；
（2）①若f（x）在（1，+∞）上单调递增，
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＞x₂，
则f（x₁）＞f（x₂），
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{2}?\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）$=$f（{x}_{2}）+f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$，
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，
∴当x＞1时，f（x）＞0，
设x₁，x₂∈（0，1），且x₁＞x₂，
则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，则f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{2}?\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）$=$f（{x}_{2}）+f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上的是增函数．
（3）若f（3）=1，则f（9）=f（3）+f（3）=1+1=2，
则不等式f（5x）＞f（x-1）+2等价为f（5x）＞f（x-1）+f（9）．
即f（5x）＞f（9x-9）．
由（2）知函数在（0，+∞）上为增函数，
则不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{5x＞0}\\{x-1＞0}\\{5x＞9x-9}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞1}\\{x＜\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，解得1＜x＜$\frac{9}{4}$，
即不等式的解集为（1，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．