Question

18．如图，若$\widehat{ACB}$是半径为r的圆的弓形，弦AB长为$\sqrt{2}$r，C为劣弧AB上的一点，CD⊥AB于D，当点C在什么位置时，△ACD的面积最大，并求这个最大面积．

Answer 1

分析 先表示出△ACD的面积，再用基本不等式求出最大面积．

解答 解：∵$\widehat{ACB}$是半径为r的圆的弓形，弦AB长为$\sqrt{2}$r，
∴∠AOB=90°．
连接OC，设∠CAB=α，则∠BOC=2α，∠AOC=90°-2α，
∴AC=2rsin（45°-α），
∴AD=ACcosα，
∴△ACD的面积S=$\frac{1}{2}×AC×AD×sinα$=r²sin²（45°-α）sin2α
=$\frac{{r}^{2}}{2}×（1-sin2α）sin2α$≤$\frac{{r}^{2}}{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{{r}^{2}}{8}$．
当且仅当1-sin2α=sin2α，即sin2α=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{12}$时，△ACD的面积最大，最大面积为$\frac{{r}^{2}}{8}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．