Question

【题目】将边长为3的正的各边三等分，过每个分点分别作另外两边的平行线，称的边及这些平行线所交的10个点为格点.若在这10个格点中任取个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形（包括正三角形）.求的最小值.

Answer 1

【答案】5

【解析】

设.

设边上从点到的两个等分点分别为、，边上从点到的两个等分点分别为、，边上从点到的两个等分点分别为、，中间的一个格点为.

若的最小值为4，取格点、、、，则不存在三个格点能构成一个等腰三角形.

因此，.

下面证明：任取五个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形.

不妨假设被选取的点为红点.

只要证明：一定存在一个由红点构成的等腰三角形.

若这五个红点中包含格点，将其他九个格点分成三个点集.

由抽屉原理知，一定存在一个点集中包含至少两个红点，无论是哪个点集中的哪两个格点是红点，均与红点构成一个等腰三角形.

若这五个红点中不包含格点，当格点是红点时，在，中，如果有一个点集中包含两个红点，则结论成立；否则，每个点集中均恰有一个红点.

不妨假设为红点，则不是红点.

若为红点，则、不是红点，于是，是红点，且无论、是哪个是红点，均与、构成一个等腰三角形.

若不是红点，则为红点，于是，不是红点，是红点，无论哪个是红点，均可与或构成一个等腰三角形.

同理，当格点或为红点时，结论仍然成立.

若、、、均不是红点，则、、、、、中有五个红点，结论显然成立.