Question

7．已知函数f（x）=$\frac{3x}{x+1}$，x∈[2，5]．
（1）判断f（x）的单调性并且证明；
（2）求f（x）在区间[2，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的单调性的定义证明即可．
（2）利用函数的单调性，直接求解函数的最值即可．

解答 解：（1）f（x）在[2，5]上是增函数．
理由：在[2，5]上任取两个数x₁＜x₂，
则有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{3{x_1}}}{{{x_1}+1}}-\frac{{3{x_2}}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{3（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$＜0，
所以f（x）在[2，5]上是增函数．
（2）由（1）可知函数是增函数，
f（x）在区间[2，5]上的最大值f（2）=2；最小值f（5）=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．