Question

2．定义在R上的函数f（x）=|2x+5|+|2x-1|≥a恒成立，
（1）求a的最大值；
（2）若m，n，p是正实数，且满足m+n+p=1，求证：mn+np+mp≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，即可得到a的最大值．
（2）通过平方，利用基本不等式证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）=|2x+5|+|2x-1|≥|2x+5-2x+1|=6，
定义在R上的函数f（x）=|2x+5|+|2x-1|≥a恒成立，
可得a≤6，a的最大值为：6．
（2）证明：∵（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mp+2np+2nm=1．
∵m，n，p是正实数，m²+n²≥2mn，n²+p²≥2np，m²+p²≥2mp，
∴m²+n²+p²≥mp+np+nm，
∴m²+n²+p²+2mp+2np+2nm≥3mp+3np+3nm．．
∴（m+n+p）²≥3mp+3np+3nm，
∴mn+np+mp≤$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查绝对值的几何意义，不等式的证明，考查计算能力．