Question

13．已知函数f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），若对x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最大值为$\frac{π-3}{2}$，则函数f（x）在（0，π）内的零点个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用导函数研究其单调性，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最大值为$\frac{π-3}{2}$，求解出a的指．函数f（x）的零点看成两个函数的图象的交点问题．

解答 解：函数f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），
∴f′（x）=a（sinx+xcosx），
当a≤0时，f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，最大值f（0）=-$\frac{3}{2}$，不适合题意，
所以a＞0，此时f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，最大值f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$a-$\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，解得a=1，符合题意，故a=1．
∴f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$在x∈（0，π）上的零点个数，即为函数y=sinx，y=$\frac{3}{2x}$的图象在x∈（0，π）上的交点个数．
又x=$\frac{π}{2}$时，sin$\frac{π}{2}$=1＞$\frac{3}{π}$＞0，所以两图象在x∈（0，π）内有2个交点，
即f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$在x∈（0，π）上的零点个数是2．
故选C．

点评 本题考察了利用导函数研究其单调性，和函数f（x）的零点问题．属于中档题．