Question

18．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）．弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．
现有圆心角为$\frac{2π}{3}$，弦长等于$2\sqrt{3}$米的弧田．
（I）计算弧田的实际面积；
（II）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（I）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，$\sqrt{3}$近似值为1.7）

Answer 1

分析 （I）利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；
（II）按照上述弧田面积经验公式计算得$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²），从而可求误差．

解答 解：（I）∵扇形半径r=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，…（1分）
∴扇形面积=$\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}×{2}^{2}$=$\frac{4π}{3}$…（3分）
又三角形面积=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$…（4分）
∴弧田面积=$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$（m²）；…（5分）
（II）∵圆心到弦的距离等于1，所以矢长为1．…（6分）
按照上述弧田面积经验公式计算得
$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}×1+{1}^{2}）$=$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$．…（8分）
∴两者差为$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$）≈0.1平方米
按照弧田面积经验公式计算结果比实际少平方米．…（10分）

点评 本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．