Question

6．过点A（1，0）的直线l的倾斜角为$α（0＜α＜\frac{π}{2}）$，直线l绕点A逆时针旋转$\frac{π}{3}$角度得到直线y=1-x．
（1）求角α及$cos（\frac{π}{6}-α）$的值；
（2）圆心角为α的扇形周长c为4．求当扇形的面积取最大值时，扇形的半径r及弧长l．

Answer 1

分析 （1）依题意得tan（α+$\frac{π}{3}$）=-1，结合0＜α＜$\frac{π}{2}$，即可求角α及$cos（\frac{π}{6}-α）$的值；
（2）由c=2r+l=4得l=4-2r（0＜r＜2），利用扇形的面积公式，结合基本不等式，即可求当扇形的面积取最大值时，扇形的半径r及弧长l．

解答 解：（1）依题意得tan（α+$\frac{π}{3}$）=-1--------------------------------------------------------------------------（2分）
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴α+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{4}$，
∴α=$\frac{5π}{12}$-------------------------------------（5分）
由tan（α+$\frac{π}{3}$）=-1得sin（α+$\frac{π}{3}$）=-cos（α+$\frac{π}{3}$）
由sin²（α+$\frac{π}{3}$）+cos²（α+$\frac{π}{3}$）=1得sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-----------------------------------------（7分）
∴$cos（\frac{π}{6}-α）$=cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{3}$）]=sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$--------------------------------------------（8分）
（2）由c=2r+l=4得l=4-2r（0＜r＜2）------------------------------------（9分）
S=$\frac{1}{2}rl$=r（2-r）≤1，当且仅当r=1时等号成立．------------------（11分）
此时l=αr=$\frac{5π}{12}$----------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查直线的倾斜角，考查扇形的弧长、面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．