Question

8．已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（　　）

• A． 16（1-4^-n）
• B． 16（1-2^-n）
• C． $\frac{32}{3}（1-{4^{-n}}）$
• D． $\frac{32}{3}（1-{2^{-n}}）$

Answer 1

分析 先根据a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，求出公比q，再根据{a_na_n+1}为等比数列，根据求和公式得到答案．

解答 解：∵{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=a₂q³=2•q³=$\frac{1}{4}$，
∴则q=$\frac{1}{2}$，a₁=4，a₁a₂=8，
∵$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q²=$\frac{1}{4}$，
∴数列{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=$\frac{8[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-4^-n）．
故选：C．

点评 本题主要考查等比数列的求和问题．属基础题．