Question

20．已知函数f（x）=lnx+ax²
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞1，若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）根据第一问的单调性先对|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）-4x在（0，+∞）单调增函数，再利用参数分离法求出a的范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$，（x＞0），
a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
故函数f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）递增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）递减；
（2）不妨设x₁≤x₂，而a＞1，
由（1）得：f（x）在（0，+∞）递增，
从而对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
等价于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）-4x₂≥f（x₁）-4x₁①
令g（x）=f（x）-4x，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-4
①等价于g（x）在（0，+∞）单调递增，即$\frac{1}{x}$+2ax-4≥0．
从而2a≥$\frac{4}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$-（\frac{1}{x}-2）^{2}$+4，∴a≥2
故a的取值范围为[2，+∞）．

点评 本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．